المستخلص
أولا: دراسة فئات جديدة من شبه المجموعة البرنولجية بحسب كل من الدوال المقيدة S والدوال المقيدة S * والدوال المقيدة S **. مما سيكون مفيداً لمنح الحل النظري للمشكلات في الحدود والتقييد بواسطة الحد من شرط التقييد. لذلك، فإن الدافع من هذه الدراسة هو وضع شرط أقل تقييدًا على عمليات شبه الزمرة ولا يلزم تحديد أي من العمليات. لقد أثبتنا من خلال النتائج الرئيسية المهمة ، أن كل شبه الزمرة البرنولوجية هي عبارة عن شبه زمرة البرنولوجية -S ، و شبه زمرة البرنولوجيه S* وشبه الزمرة البرنولوجية** S. علاوة على ذلك، الشرط المحدد لأي مجال زمري مقابل لشبه المجموعة البرولوجية -S * لتكون لشبه المجموعة البرولوجية S * -. بالإضافة إلى ذلك، كل تحويل يسار (يمين) هو تماثل البورنولوجي S- وتماثل البورنولوجيS * .
ثانياً: هو بناء هيكل جديد يسمى بالبرنولوجي المثالي , الدافع من بناء هذا الهيكل هو لتقليل شروط التقييد بصورة مثالية. واوضحت النتيجة الرئيسية انه بالإمكان بناء هيكل برنولوجي مثالي وحيد من الأساس المثالي، وأيضا تم اثبات الاستنتاج ان الأساس المثالي يمتلك خاصية الاتحاد المنتهي. إضافة الى ذلك برهانا ان اتحاد أي مجموعتين برنولوجية مثالية هو مثالي لكن اتحادهم ليس برنولوجي مثالي وأيضا، تم دراسة بعض أنواع البرنولوجي المثالي. لقد تم إعطاء شرط كافي ان أي صورة لبرنولوجي مثالي هو برنولوجي مثالي. أخيرًا، ومنذ تحديد المعرفة الجديدة لكل هيكل حديث في إطار نظرية الفئة. مما جعل جل اهتمام للعديد من الباحثين من ادراج كل هيكل حديث ضمن نظرية الفئة ومناقشة مفهوم المنتج المباشر والمنتج المشترك. هذا يحفزنا على رسم حدود الهيكل البرنولوجي المثالي ضمن اطارنظرية الفئة.واجمل ما توج به هذا العمل هو بعض التطبيقات الحياتية للبرنولوجي المثالي كبصمة الاصبع والعين
